Exercice 3

←

Si f est constante, alors Or, Donc Donc g est constante, donc g est croissante.

→

Sachant que g est croissante, Montrons que f est constante. En faisant tendre g vers , on obtient :

Par quotient de limites, on a

Or g est croissante. Donc,

On étude le signe de g(x) : il est du signe de f(x) - f(a). Donc

Or f est croissante, donc Par double inégalité, on a f(a) = f(x) L'égalité est aussi vrai en x = a, on a donc . Donc f est constante.

Exercice 4

→

Sachant que f est constante, Montrons que F est constante. Donc, De plus, x > 0 et y > 0. Donc . On a bien

Hint

Ici, on démontre chaque partie une à une, et non toute l'inéquation d'un coup. Cela évite de démontrer quelque chose avec ce que l'on cherche à démontrer.

←

Soit a > 0 fixé. On a donc : Donc

Or, $$\lim\limits_{x \to + \infty} |f(x) - f(a)| = |\lim\limits_{x \to + \infty} f(x) - f(a)| = |\lim\limits_{x \to + \infty} f(x) - \lim\limits_{x \to + \infty}f(a)|$$

Étoile devient

Comme une valeur absolue est toujours positive, on a

Donc

Soit b fixé. On trouve de la même manière que . Par unicité de la limite, on a f(a) = f(b).f est donc constante !

Exercice 5

Soit .

Par contient de limites, on obtient