Estimation Statistique â
Objets mathĂ©matiques utilisĂ©s en statistique â
Un vecteur de données est de taille (la taille de l'échantillon). Ces données sont réalisées par des variables aléatoires .
est définie sur un univers . Si est fini, alors on dit que est une variable aléatoire discrÚte. Dans le cas contraire, est continue.
On note également les éléments de l'univers (appelés issues). Elles sont aléatoires, tout comme .
Une fonction de répartition d'une variable aléatoire est définie tel que :
Une fonction de masse d'une variable aléatoire est définie tel que :
On peut écrire la fonction de répartition à partir de la fonction de masse .
Ă faire :
- Def espérance
- Def Variance (plusieurs)
- théorÚme de transfert
Variables AlĂ©atoires Usuelles DiscrĂštes â
Loi uniforme â
Une variable aléatoire X suis une loi de uniforme () si
Alors, et . On a Ă©galement
Loi de Bernoulli â
Une variable aléatoire suis une loi de Bernoulli () si et
Alors, et
Loi Binomiale â
Une variable aléatoire suis une loi Binomiale () si
Alors, et
Une loi binomiale correspond à la répétition de n loi de Bernoulli .
Loi de Poisson â
Une variable aléatoire suis une loi de Poisson () si
Alors, et
Cette loi modélise des événements indépendants qui ont lieu peu souvent.
Variables AlĂ©atoires Usuelles Continues â
Loi Uniforme Continue â
Une variable aléatoire X suis une loi de uniforme () si
Loi GĂ©omĂ©trique â
Une variable aléatoire suis une loi Géométrique () si . Alors,
Alors, et
Cette loi modélise des la répétition d'une épreuve de Bernoulli jusqu'à son premier succÚs.
Loi Normale â
Une variable aléatoire suis une loi Géométrique () si
Alors, et
AgrĂ©gation des variables alĂ©atoires â
Soit v.a. iid d'espérance et de variance . On note l'agrégation des variables aléatoires. Son espérance vaut et sa variance .
- Version faible :
- Version forte :
Avec une variable aléatoire agrégée (qu'on aime noter ), on peut appliquer le théorÚme central limite :
Il est principalement utilisé pour justifier la construction d'Intervalles de confiance.
L'agrégation de lancés de piÚces tend vers la quantité , donc si on enlÚve l'espérance tend vers 0 (loi normal).
PropriĂ©tĂ©s sur les variables alĂ©atoires â
En statistiques, on travaille avec des variables aléatoires mutuellement indépendantes (1) et identiquement distribués (2). On abrÚge en iid.
Avec la notion de fonction de masse/densité :
DĂ©pendance par rapport Ă des paramĂštres â
Toute loi dépend d'un ou plusieurs paramÚtre(s) (que nous noterons ).
On note la fonction de densitĂ©/masse sachant . Une mĂȘme loi avec des paramĂ©trisations diffĂ©rentes donne des rĂ©sultats diffĂ©rents.
Notion de statistique â
Une statistique est une fonction quelconque des données .
Le but des statistiques est de faire parler les données. Un exemple de statistique serait la moyenne empirique ou le maximum .
En mathématiques, on aura besoin d'une loi de probabilité et/ou d'une variable aléatoire pour remplacer les données.
Un estimateur d'une grandeur est une statistique Ă valeur dans des possibles.
Elle prend en argument l'ensemble des variables aléatoires considérées .
La plupart du temps, les estimateurs nous serrons donnés.
QualitĂ© d'un estimateur â
On peut quantifier la qualité d'un estimateur avec les outils suivants :
Biais â
On le note , et il mesure la précision de par rapport à . est dit sans biais si .
Variance d'un estimateur â
quantifie les fluctuations de autour de son espérance .
Consistance â
Si , alors est consistant pour .
Erreur Quadratique â
L'erreur quadratique moyenne d'un estimateur de est noté et on a :
Le meilleur estimateur possible de est un estimateur sans biais et de variance minimal.