Note

Mon compilateur ne supporte pas les listes de lettres (a., b., etc). J'ai donc remplacé les lettres par des chiffres, mais les exercices sont les mêmes.

Exercice 1

1. T suis une loi binomiale de paramètre p et 2.

3. On calcule le biais de .

4. On calcule le nouveau biais de . Comme on doit calculer l'espérance pour , on peut faire une "disjonction de cas". Dans la some de l'espérance, tout les termes sont annulés quand T ne vaux pas 0. On a alors

   Donc l'estimateur est non biaisé.

Exercice 2

1. Donc T suis une loi de Bernoulli de probabilité
2. (cours). Donc est bien un estimateur non biaisé de . , donc présente un biais pour .
3. On calcule les EQM de et :
4. On a vu que était biaisé, donc c'est forcément le plus performant.
5. Quand n tend vers +inf, tend vers tend vers +inf. La variance de s'annule pour n grand, donc est un bon estimateur.

Exercice 3

1. D'après le tableau :
2. Toujours d'après le tableau :
3. Toujours d'après le tableau :
4. : 1. 2. On cherche donc

Exercice 4 (corrigé)

1. D'après la formule du cours, et .
3. Conditions :
   1. On cherche tel que .
      • Réponse de filous : .
      • Borne tel que . On cherche donc tel que . On trouve , on choisit . On inverse
   2. On cherche tel que .
      • Réponse de filous : ou un truc tout petit.
      • Borne tel que . . On notera (symétrie) On trouve

Exercice 5 (corrigé)

1. Cette situation pourrait être modélisé par une loi de Bernoulli de paramètre . (Car chances de gagner et pour l'échec).
2. Soit 2 tirages :
   1. . Pour la première boule, nous avons couleurs possibles. Pour la deuxième boule, il reste couleurs qui ne correspondent pas à celle de la première. Pour la dernière, il faut qu'elle soit exactement de la même couleur que la première, donc .
   2. On étudie donc la function avec . admet un extremum en , et elle est croissante avant. Son maximum est donc avec . On maximise le succès de notre tour de magie avec couleurs.
3. Soit 4 tirages :
   1. . Pour la première boule, nous avons couleurs possibles. Pour la deuxième boule, il reste couleurs qui ne correspondent pas à celle de la première. Pour la dernière, il faut qu'elle soit exactement de la même couleur que la première, donc .
   2. On étudie donc la function avec . admet deux extremum (résolution de delta) en et . Or, on veut au moins 3 boules, donc est le maximum. On peut comparer et