🧮 TD Statistiques N°3

Exercice 1

On utilise la moyenne empirique comme estimateur d'espérance pour . On applique ensuite le TCL (mais il me manques les ) :
Toujours pas de n. Mais il n'y aurait pas tant de problèmes que ça a avoir des résultats similaires

On approxime la variance par la variance empirique, et suit une loi normale centrée réduite d'après le TCL.

Un sondé vote à 30% pour , à 28% pour et donc à 42% pour une autre option. Pour , la variance est de . Pour , la variance est de
On obtient, pour , $$\mathbb{P} (p \in ] 0.3 -\sqrt {\frac{0.21}{500}} \times (- 1.96) ; 0.3 -\sqrt {\frac{0.21}{500}} \times (1.96) [) = 0.95$$
On obtient, pour , $$\mathbb{P} (p \in ] 0.28 -\sqrt {\frac{0.2016}{500}} \times (- 1.96) ; 0.28 -\sqrt {\frac{0.2016}{500}} \times (1.96) [) = 0.95$$
Avec mes résultats non (même écart)
On majore au lieu de l’approximer.
Pour , $$0.3 = [ \bar{X}_n - 1.96 \sqrt \frac{1}{o}, 0.3 + 1.96 \sqrt \frac{1}{o}]$$

J'ai oublié o, si qq a la formule complète

On cherche . On peut faire un produit car les lois sont mutuellement indépendantes. $$\mathcal{L}(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} P(X_i = x_i) = \prod_{i=1}^{n} \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x_i}}{x_i!} = e^{-n\lambda} \prod_{i=1}^{n} \lambda^{x_i} \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i!} = e^{-n\lambda} \lambda^{\sum_{i = 1}^n} \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i!}$$
On dérive en fonction de (la variable)
La dérivée de s'annule ssi . L'estimation de vraisemblance pour pour nos données est et l'estimateur maximum de vraisemblance est .
. Tend vers 0 quand tend vers l'infinie, donc les variations sont de plus en plus faibles à mesure que de nouvelles va sont ajoutés.
sans biais
. Pour , la variance est finie et ne dépend pas de n, cohérent car on ne prend en compte que et dans l'estimation de .
. Donc pour , a un EQM plus faible que .

Voir papier (à scanner)
Ne pas oublier de préciser que les lois sont idd !
reste inchangé et .
On passe par le logarithme pour éliminer le produit dans la fonction (toujours plus simple de dériver des sommes que des produits)