🎰 Introduction à la théorie des jeux
Introduction
La théorie des jeux (game theory) a été développé aux états unis dans un contexte de guerre froid pour étudier des stratégies militaires.
Nous sommes dans des situations où il y a des interactions stratégiques (strategic interactions). Le sort de chacun dépend de ce que les autres vont faire. Un jeu (game) est associé à un nombre de joueurs et, comme dans la théorie macroéconomique de base, vont chercher à maximiser leur gain (~ utilité) et on suppose que les joueurs sont rationnels (ils utilisent toute l'information disponible pour faire leurs choix).
Pour chaque joueur, il y a alors ensemble de stratégies (continue ou discret). Une "combinaison" de cette ensemble revient à faire une issue du jeu. Certains jeu sont coopératifs, d'autres non-coopératifs (ou mixte, soyons open-minded).
L'information (c.f. rationnels) peut être complète ou incomplète. On réfléchira pour le moment principalement à des situations à information complètes.
Jeux à un coup
Jeux à stratégies dominantes
Un jeu à un coût est un jeu ou chaque joueur joue un coup en même temps. On ne sait donc pas ce que l'autre va faire.
On représente un jeu de la manière suivante :
| Jeu 1 | ||
|---|---|---|
| (2, 2) | (1, 3) | |
| (3, -1) | (0, 0) | |
| (4, 3) | (2, 4) |
possèdent 3 stratégies et et possède 2 (donc ici les stratégies sont continues). On représentera les jeux sous forme de matrice (ici la matrice des gains).
Pour lire un gain dans le graphique, on prend la case avec stratégie de a et stratégie de b. On trouve alors une combinaison des gains de a et b.
Pour trouver la bonne stratégie, on calcule l'espérance des stratégies (moyennes). Ici, comme tout les choix de sont plus intéressant que , on dit qu'il y a une dominance (aussi noté ou ). Idem pour .
Pour la deuxième option, a n'a pas de stratégie dominante. Mais il sais cependant que b va choisir sa situation dominante et va donc choisir
Dilemme du prisoners
Nous avons deux prisoners (ici des joueurs), arrêtés et accusés d'avoir commis un crime. Stratégie classique : ils sont tout les deux isolés dans des salles séparés et obtiennent une remise de peine si ils dénoncent leurs partenaires.
| B se tait | B dénonce | |
|---|---|---|
| A se tait | (1, 1) | (-2, 2) |
| A dénonce | (2, -2) | (-1, -1) |
L'optimum de Pareto est (1, 1). Cependant, ils ont tout les deux intérêts à dénoncer , mais vont donc finir avec la pire des situations : paradoxe de la rationalité.
Jeux à stratégies dominées
Tout le monde sais que tout le monde est rationnel. On peut donc éliminer les colones : on sais que b1 ne sera pas choisit. a1 est également dominé par a2 et a3. Puis b3 est éliminé, ainsi de suite... Ces éliminations ne sont pas forcément des optimums de Paréto.
Jeux à plusieurs coups
Récurrence à rebours
Ici, les agents jouent de façon successive. On note les stratégies d'un agent en fonction d'un autre sous forme de vecteur (ex : ). Avec la connaissance de la rationalité, les agents peuvent ici aussi deviner quel choix vont effectuer les autres agents (car ils sont rationnels) et on élimine ainsi à chaque tour une série de branche du jeu, pour arriver à un seul parcours (ex:
Principe de l'équilibre de Nash
Un équilibre de Nash est une situation où aucun agent ne peux pas trouver de meilleur stratégie de jeux.
Dans le jeu suivant, a2 et b2 ne vont pas être choisis du à une faible espérance de gain.
Le modèle de la théorie des jeu prédit que lorsqu'il y a un unique équilibre de Nash, alors c'est la solution du jeu.
Situation de la poule mouillée
Imaginations la situation de deux gros utilitaires dans une petite rue, qui vont tout les deux dans deux directions différentes. Qui reste et qui s'écarte ?
| b reste (b1) | b s'écarte (b2) | |
|---|---|---|
| a reste (a1) | (-2, -2) | (1, 0) |
| a s'écarte (a2) | (0, 1) | (-1, -1) |
En rouge, deux deux équilibres de Nash. Ici, on ne sait pas quel équilibre de Nash sera choisit, et il n'y a donc pas de solutions.
Autre situation : la bataille des sexes. Soit A une femme, B un homme.
| Shopping | Foot | |
|---|---|---|
| Shopping | (2, 1) | (0, 0) |
| Foot | (0, 0) | (1, 2) |
Idem, 2 équilibres de Nash.
Cas où il existe plusieurs équilibre de Nash
Pour un pile ou face, il y a autan de possibilités que d'équilibres de Nash. Imaginons cette situation, avec A tirage et B pari.
| Pile | Face | |
|---|---|---|
| Pile | (-1, 1) | (1, -1) |
| Face | (1, -1) | (-1, 1) |
Toujours aucune solutions !
On est dans une situation où seul un équilibre peut nous permettre de trouver une solution au jeu.